Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны - это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только надо пользоваться особыми таблицами сложения и умножения для каждой системы.
Таблицы сложения легко составить, используя правила счета.
При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.
Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления .
Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.
Шестнадцатеричная : F 16 +7 16 +3 16 |
15+7+3 = 25 10 = 11001 2 = 31 8 = 19 16 . Проверка: 11001 2 = 2 4 + 2 3 + 2 0 = 16+8+1=25, 31 8 = 3 . 8 1 + 1 . 8 0 = 24 + 1 = 25, 19 16 = 1 . 16 1 + 9 . 16 0 = 16+9 = 25. |
Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75 .
Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,25 10 = 11001001,01 2 = 311,2 8 = C9,4 16
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду :
11001001,01 2 = 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 0 + 2 -2 = 201,25
311,2 8 = 3 . 8 2 + 1 . 8 1 + 1 . 8 0 + 2 . 8 -1 = 201,25
C9,4 16 = 12 . 16 1 + 9 . 16 0 + 4 . 16 -1 = 201,25
Вычитание в двоичной системе счисления
заем |
Вычитание в шестнадцатеричной системе счисления
Заем единицы из старшего разряда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычитание в восьмеричной системе счисления
|
Заем единицы из старшего разряда
Пример 4. Вычтем единицу из чисел 10 2 , 10 8 и 10 16
Пример 5. Вычтем единицу из чисел 100 2 , 100 8 и 100 16 .
Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.
Ответ: 201,25 10 - 59,75 10 = 141,5 10 = 10001101,1 2 = 215,4 8 = 8D,8 16 .
Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
10001101,1 2 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 -1 = 141,5;
215,4 8 = 2 . 8 2 + 1 . 8 1 + 5 . 8 0 + 4 . 8 -1 = 141,5;
8D,8 16 = 8 . 16 1 + D . 16 0 + 8 . 16 -1 = 141,5.
Арифметические операции в двоичной системе счисления
Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами сложения, вычитания и умножения.
Правило выполнения операции сложения одинаково для всех систем счисления: если сумма складываемых цифр больше или равна основанию системы счисления, то единица переносится в следующий слева разряд. При вычитании, если необходимо, делают заем.
Аналогично выполняются арифметические действия в восьмеричной, шестнадцатеричной и других системах счисления. При этом необходимо учитывать, что величина переноса в следующий разряд при сложении и заем из старшего разряда при вычитании определяется величиной основания системы счисления.
Арифметические операции в восьмеричной системе счисления
Для представления чисел в восьмеричной системе счисления используются восемь цифр(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), так как основа восьмеричной системы счисления равна8. Все операции производятся посредством этих восьми цифр. Операции сложения и умножения в восьмеричной системе счисления производятся с помощью следующих таблиц:
Таблицы сложения и умножения в восьмеричной системе счисления
Пример 5 .Вычесть восьмеричные числа 5153- 1671и2426,63- 1706,71 |
Пример 6 .Умножить восьмеричные числа51 16и16,6 3,2 |
Арифметические операции в шестнадцатеричной системе счисления
Для представления чисел в шестнадцатеричной системе счисления используются шестнадцать цифр:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. В шестнадцатеричной системе числошестнадцатьпишется как10. Выполнение арифметических операций в шестнадцатеричной системе производится как и в десятиричной системе, но при выполнении арифметических операций над большими числами необходимо использовать таблицы сложения и умножения чисел в шестнадцатеричной системе счисления.
Таблица сложения в шестнадцатеричной системе счисления
Таблица умножения в шестнадцатеричной системе счисления
Пример 7 .Сложить шестнадцатеричные числа |
Давайте вспомним о том, как мы складываем числа уже привычным нам способом, в десятичной .
Самое главное стоит понять разряды. Вспомните алфавит каждой СС и тогда вам станет легче.
Сложение в двоичной системе ничем не отличается от сложения в десятичной системе. Главное помнить, алфавит содержит всего две цифры: 0 и 1. Поэтому когда мы складываем 1 + 1, то получаем 0, и увеличиваем число еще на 1 разряд. Посмотрите на пример выше:
Один пример мы разобрали, второй решите самостоятельно:
Так же как и в любых других системах счисления необходимо помнить Алфавит. Давайте попробуем сложить выражение.
А теперь проделайте сложение самостоятельно:
Вспомним, как мы это делаем в десятичной системе счисления.
А теперь решите самостоятельно:
Возьмем предыдущий пример, и посмотрим каков будет результат в шестнадцатеричной системе. Такой же или другой?
Пример для самостоятельного решения:
Давайте запомним раз и навсегда, что умножение в любой системе счисления на единицу, всегда даст тоже самое число.
В двоичной системе умножать очень легко. Мы всегда умножаем либо на 0, либо на единицу. Главное, это внимательно складывать. Давайте попробуем.
Пример для самостоятельного решения:
Пример для самостоятельного решения:
Все как обычно, главное вспомните алфавит. Буквенные цифры, для удобства переводите в привычную для себя систему счисления, как умножите, переводите обратно в буквенное значение.
Давайте для наглядности разберем умножение на 5 числа 20А4.
Пример для самостоятельного решения.
Примеры перевода чисел в различные системы счисления
Пример №1
Переведем число 12 из десятичной в двоичную систему счисления
Решение
Переведем число 12 10 в 2-ичную систему счисления, при помощи последовательного деления на 2, до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю. В результате будет получено число из остатков деления записанное справа налево.
12 | : | 2 | = | 6 | остаток: 0 |
6 | : | 2 | = | 3 | остаток: 0 |
3 | : | 2 | = | 1 | остаток: 1 |
1 | : | 2 | = | 0 | остаток: 1 |
Пример №2
Переведем число 12.3 из десятичной в двоичную систему счисления
12.3 10 = 1100.010011001100110011001100110011 2
РешениеПереведем целую часть 12 числа 12.3 10 в 2-ичную систему счисления, при помощи последовательного деления на 2, до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю. В результате будет получено число из остатков деления записанное справа налево.
12 | : | 2 | = | 6 | остаток: 0 |
6 | : | 2 | = | 3 | остаток: 0 |
3 | : | 2 | = | 1 | остаток: 1 |
1 | : | 2 | = | 0 | остаток: 1 |
Переведем дробную часть 0.3 числа 12.3 10 в 2-ичную систему счисления, при помощи последовательного умножения на 2, до тех пор, пока в дробной части произведения не получиться ноль или не будет достигнуто необходимое количество знаков после запятой. Если в результате умножения целая часть не равна нулю, тогда необходимо заменить значение целой части на ноль. В результате будет получено число из целых частей произведений, записанное слева направо.
0.3 | · | 2 | = | 0 .6 |
0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
Пример №3
Переведем число 10011 из двоичной системы в десятичную систему счисления
Решение
Переведем число 10011 2 в десятичную систему счисления, для этого сначала запишем позицию каждой цифры в числе с права налево, начиная с нуля
Каждая позиция цифры будет степенью числа 2, так как система счисления 2-ичная. Необходимо последовательно умножить каждое число 10011 2 на 2 в степени соответствующей позиции числа и затем сложить с последующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.
10011 2 = 1 ⋅ 2 4 + 0 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 19 10
Пример №4
Переведем число 11.101 из двоичной системы в десятичную систему счисления
11.101 2 = 3.625 10
РешениеПереведем число 11.101 2 в десятичную систему счисления, для этого сначала запишем позицию каждой цифры в числе
Каждая позиция цифры будет степенью числа 2, так как система счисления 2-ичная. Необходимо последовательно умножить каждое число 11.101 2 на 2 в степени соответствующей позиции числа и затем сложить с последующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.
11.101 2 = 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 + 1 ⋅ 2 -1 + 0 ⋅ 2 -2 + 1 ⋅ 2 -3 = 3.625 10
Пример №5
Переведем число 1583 из десятичной системы в шестнадцатеричную систему счисления
1583 10 = 62F 16
РешениеПереведем число 1583 10 в 16-ичную систему счисления, при помощи последовательного деления на 16, до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю. В результате будет получено число из остатков деления записанное справа налево.
1583 | : | 16 | = | 98 | остаток: 15, 15 = F |
98 | : | 16 | = | 6 | остаток: 2 |
6 | : | 16 | = | 0 | остаток: 6 |
Пример №6
Переведем число 1583.56 из десятичной системы в шестнадцатеричную систему счисления
1583.56 10 = 62F.8F5C28F5C28F5C28F5C28F5C28F5C2 16
РешениеПереведем целую часть 1583 числа 1583.56 10 в 16-ичную систему счисления, при помощи последовательного деления на 16, до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю. В результате будет получено число из остатков деления записанное справа налево.
1583 | : | 16 | = | 98 | остаток: 15, 15 = F |
98 | : | 16 | = | 6 | остаток: 2 |
6 | : | 16 | = | 0 | остаток: 6 |
Переведем дробную часть 0.56 числа 1583.56 10 в 16-ичную систему счисления, при помощи последовательного умножения на 16, до тех пор, пока в дробной части произведения не получиться ноль или не будет достигнуто необходимое количество знаков после запятой. Если в результате умножения целая часть не равна нулю, тогда необходимо заменить значение целой части на ноль. В результате будет получено число из целых частей произведений, записанное слева направо.
0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
0.96 | · | 16 | = | 15 .36, 15 = F |
0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
0.76 | · | 16 | = | 12 .16, 12 = C |
0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
0.96 | · | 16 | = | 15 .36, 15 = F |
0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
0.76 | · | 16 | = | 12 .16, 12 = C |
0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
0.96 | · | 16 | = | 15 .36, 15 = F |
0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
0.76 | · | 16 | = | 12 .16, 12 = C |
0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
0.96 | · | 16 | = | 15 .36, 15 = F |
0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
0.76 | · | 16 | = | 12 .16, 12 = C |
0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
0.96 | · | 16 | = | 15 .36, 15 = F |
0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
0.76 | · | 16 | = | 12 .16, 12 = C |
0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
0.96 | · | 16 | = | 15 .36, 15 = F |
0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
0.76 | · | 16 | = | 12 .16, 12 = C |
0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
Пример №7
Переведем число A12DCF из шестнадцатеричной системы в десятичную систему счисления
A12DCF 16 = 10563023 10
РешениеПереведем число A12DCF 16 в десятичную систему счисления, для этого сначала запишем позицию каждой цифры в числе с права налево, начиная с нуля
Каждая позиция цифры будет степенью числа 16, так как система счисления 16-ичная. Необходимо последовательно умножить каждое число A12DCF 16 на 16 в степени соответствующей позиции числа и затем сложить с последующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.
2
A12DCF.12A 16 = 10 ⋅ 16 5 + 1 ⋅ 16 4 + 2 ⋅ 16 3 + 13 ⋅ 16 2 + 12 ⋅ 16 1 + 15 ⋅ 16 0 + 1 ⋅ 16 -1
1010100011 2 = 1 ⋅ 2 9 + 0 ⋅ 2 8 + 1 ⋅ 2 7 + 0 ⋅ 2 6 + 1 ⋅ 2 5 + 0 ⋅ 2 4 + 0 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 675 10
Переведем число 675 10 в 16-ичную систему счисления, при помощи последовательного деления на 16, до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю. В результате будет получено число из остатков деления записанное справа налево.
675 | : | 16 | = | 42 | остаток: 3 |
42 | : | 16 | = | 2 | остаток: 10, 10 = A |
2 | : | 16 | = | 0 | остаток: 2 |
Можно вводить как целые числа, например 34 , так и дробные, например, 637.333 . Для дробных чисел указывается точность перевода после запятой.
Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Пример №1
.
Перевод из 2 в 8 в 16 системы счисления.
Эти системы кратны двум, следовательно, перевод осуществляется с использованием таблицы соответствия (см. ниже).
Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмиричную (шестнадцатиричную) необходимо от запятой вправо и влево разбить двоичное число на группы по три (четыре – для шестнадцатиричной) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние группы. Каждую группу заменяют соответствующей восьмиричной или шестнадцатиричной цифрой.
Пример №2
. 1010111010,1011 = 1.010.111.010,101.1 = 1272,51 8
здесь 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1
При переводе в шестнадцатеричную систему необходимо делить число на части, по четыре цифры, соблюдая те же правила.
Пример №3
. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
здесь 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13
Перевод чисел из 2 , 8 и 16 в десятичную систему исчисления производят путем разбивания числа на отдельные и умножения его на основание системы (из которой переводится число) возведенное в степень соответствующую его порядковому номеру в переводимом числе. При этом числа нумеруются влево от запятой (первое число имеет номер 0) с возрастанием, а в правую сторону с убыванием (т.е. с отрицательным знаком). Полученные результаты складываются.
Пример №4
.
Пример перевода из двоичной в десятичную систему счисления.
1010010,101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 -2 +1·2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10
Пример перевода из восьмеричной в десятичную систему счисления.
108.5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10
Пример перевода из шестнадцатеричной в десятичную систему счисления.
108.5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10
Еще раз повторим алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую ПСС
Двоичная СС | Шестнадцатеричная СС |
0000 | 0 |
0001 | 1 |
0010 | 2 |
0011 | 3 |
0100 | 4 |
0101 | 5 |
0110 | 6 |
0111 | 7 |
1000 | 8 |
1001 | 9 |
1010 | A |
1011 | B |
1100 | C |
1101 | D |
1110 | E |
1111 | F |
Таблица для перевода в восьмеричную систему счисления
Пример №2
. Перевести число 100,12 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления и обратно. Пояснить причины расхождений.
Решение
.
1 Этап. .
Остаток от деления записываем в обратном порядке. Получаем число в 8-ой системе счисления: 144
100 = 144 8
Для перевода дробной части числа последовательно умножаем дробную часть на основание 8. В результате каждый раз записываем целую часть произведения.
0.12*8 = 0.96 (целая часть 0
)
0.96*8 = 7.68 (целая часть 7
)
0.68*8 = 5.44 (целая часть 5
)
0.44*8 = 3.52 (целая часть 3
)
Получаем число в 8-ой системе счисления: 0753.
0.12 = 0.753 8
100,12 10 = 144,0753 8
2 Этап. Перевод числа из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления
.
Обратный перевод из восьмеричной системы счислений в десятичную.
Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100
Для перевода дробной части необходимо разделить разряд числа на соответствующую ему степень разряда
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199
144,0753 8 = 100,96 10
Разница в 0,0001 (100,12 - 100,1199) объясняется погрешностью округлений при переводе в восьмеричную систему счислений. Эту погрешность можно уменьшить, если взять большее число разрядов (например, не 4, а 8).