Предел функции двух переменных.
Понятие и примеры решений

Добро пожаловать на третий урок по теме ФНП , где наконец-то начали сбываться все ваши опасения =) Как многие подозревали, понятие предела распространяется и на функцию произвольного количества аргументов, в чём нам сегодня и предстоит разобраться. Однако есть оптимистичная новость. Она состоит в том, что при предел в известной степени абстрактен и соответствующие задания крайне редко встречаются на практике. В этой связи наше внимание будет сосредоточено на пределах функции двух переменных или, как мы чаще её записываем: .

Многие идеи, принципы и методы схожи с теорией и практикой «обычных» пределов, а значит, на данный момент вы должны уметь находить пределы и самое главное ПОНИМАТЬ, что такое предел функции одной переменной . И, коль скоро судьба привела вас на эту страничку, то, скорее всего, уже немало понимаете-умеете. А если и нет – ничего страшного, все пробелы реально заполнить в считанные часы и даже минуты.

События этого занятия разворачиваются в нашем трёхмерном мире, и поэтому будет просто огромным упущением не принять в них живое участие. Сначала соорудим хорошо известную декартову систему координат в пространстве . Давайте встанем и немного походим по комнате… …пол, по которому вы ходите – это плоскость . Поставим где-нибудь ось … ну, например, в любом углу, чтобы не мешалась на пути. Отлично. Теперь, пожалуйста, посмотрите вверх и представьте, что там зависло расправленное одеяло. Это поверхность , заданная функцией . Наше перемещение по полу, как нетрудно понять, имитирует изменение независимых переменных , и мы можем передвигаться исключительно под одеялом, т.е. в области определения функции двух переменных . Но самое интересное только начинается. Прямо над кончиком вашего носа по одеялу ползает маленький тараканчик, куда вы – туда и он. Назовём его Фредди. Его перемещение имитирует изменение соответствующих значений функции (за исключением тех случаев, когда поверхность либо её фрагменты параллельны плоскости и высота не меняется) . Уважаемый читатель с именем Фредди, не обижайся, так надо для науки.

Возьмём в руки шило и проткнём одеяло в произвольной точке, высоту которой обозначим через , после чего строго под отверстием воткнём инструмент в пол – это будет точка . Теперь начинаем бесконечно близко приближаться к данной точке , причём приближаться мы имеем право ПО ЛЮБОЙ траектории (каждая точка которой, разумеется, входит в область определения) . Если ВО ВСЕХ случаях Фредди будет бесконечно близко подползать к проколу на высоту и ИМЕННО НА ЭТУ ВЫСОТУ, то функция имеет предел в точке при :

Если при указанных условиях проколотая точка расположена на краю одеяла, то предел всё равно будет существовать – важно, чтобы в сколь угодно малой окрестности острия шила были хоть какие-то точки из области определения функции. Кроме того, как и в случае с пределом функции одной переменной , не имеет значения , определена ли функция в точке или нет. То есть наш прокол можно залепить жвачкой (считать, что функция двух переменных непрерывна ) и это не повлияет на ситуацию – вспоминаем, что сама суть предела подразумевает бесконечно близкое приближение , а не «точный заход» в точку.

Однако безоблачная жизнь омрачается тем фактом, что в отличие от своего младшего брата, предел гораздо более часто не существует. Это связано с тем, что к той или иной точке на плоскости обычно существует очень много путей, и каждый из них должен приводить Фредди строго к проколу (опционально «залепленному жвачкой») и строго на высоту . А причудливых поверхностей с не менее причудливыми разрывами хоть отбавляй, что приводит к нарушению этого жёсткого условия в некоторых точках.

Организуем простейший пример – возьмём в руки нож и разрежем одеяло таким образом, чтобы проколотая точка лежала на линии разреза. Заметьте, что предел всё ещё существует, единственное, мы потеряли право ступать в точки под линией разреза, так как этот участок «выпал» из области определения функции . Теперь аккуратно приподнимем левую часть одеяла вдоль оси , а правую его часть, наоборот – сдвинем вниз или даже оставим её на месте. Что изменилось? А принципиально изменилось следующее: если сейчас мы будем подходить к точке слева, то Фредди окажется на бОльшей высоте, чем, если бы мы приближались к данной точке справа. Таким образом, предела не существует.

И, конечно же, замечательные пределы , куда без них. Рассмотрим поучительный во всех смыслах пример:

Пример 11

Используем до боли знакомую тригонометрическую формулу , где и стандартным искусственным приёмом организуем первые замечательные пределы :

Перейдём к полярным координатам:
Если , то

Казалось бы, решение идёт к закономерной развязке и ничто не предвещает неприятностей, однако в самом конце существует большой риск допустить серьёзный недочёт, о характере которого я уже чуть-чуть намекнул в Примере 3 и подробно расписал после Примера 6. Сначала концовка, затем комментарий:

Давайте разберёмся, почему будет плохо записать просто «бесконечность» или «плюс бесконечность». Посмотрим на знаменатель: так как , то полярный радиус стремится к бесконечно малому положительному значению: . Кроме того, . Таким образом, знак знаменателя и всего предела зависит только от косинуса:
, если полярный угол (2-я и 3-я координатные четверти: );
, если полярный угол (1-я и 4-я координатные четверти: ) .

Геометрически это означает, что если приближаться к началу координат слева, то поверхность, заданная функцией , простирается до бесконечности вниз:

Для того чтобы дать понятие предела функции нескольких переменных, ограничимся случаем двух переменных х и у . По определению функция f (x, y) имеет предел в точке (х 0 , у 0), равный числу А , обозначаемый так:

(пишут еще f (x, y) >А при (x, y) > (х 0 , у 0)), если она определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел

какова бы ни была стремящаяся к (х 0 , у 0) последовательность точек (x k , y k ).

Так же, как в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функции двух переменных: функция f имеет в точке (х 0 , у 0) предел, равный А , если она определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0) за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого е > 0 найдется такое д > 0, что

| f (x, y) - A | < е (3)

для всех (x, y)

0 < < д. (4)

Это определение, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого е > 0 найдется д-окрестность точки (х 0 , у 0) такая, что для всех (x, y ) из этой окрестности, отличных от (х 0 , у 0), выполняется неравенство (3).

Так как координаты произвольной точки (x, y ) окрестности точки (х 0 , у 0) можно записать в виде х = х 0 + Дх , у = у 0 + Ду , то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:

Рассмотрим некоторую функции, заданную в окрестности точки (х 0 , у 0), кроме, быть может, самой этой точки.

Пусть щ = (щ х , щ у ) - произвольный вектор длины единица (|щ| 2 = щ х 2 + щ у 2 = 1) и t > 0 - скаляр. Точки вида (х 0 + t щ х , y 0 + t щ у ) (0 < t )

образуют луч, выходящий из (х 0 , у 0) в направлении вектора щ. Для каждого щ можно рассматривать функцию

f (х 0 + t щ х , y 0 + t щ у ) (0 < t < д)

от скалярной переменной t , где д - достаточно малое число.

Предел этой функции (одной переменной t )

f (х 0 + t щ х , y 0 + t щ у ),

f в точке (х 0 , у 0) по направлению щ.

Пример 1. Функции

определены на плоскости (x, y ) за исключением точки х 0 = 0, у 0 = 0. Имеем (учесть, что и):

(для е > 0 полагаем д = е/2 и тогда | f (x, y) | < е, если < д).

из которого видно, что предел ц в точке (0, 0) по разным направлениям вообще различен (единичный вектор луча y = kx , х > 0, имеет вид

Пример 2. Рассмотрим в R 2 функцию

(х 4 + у 2 ? 0).

Данная функция в точке (0, 0) на любой прямой y = kx , проходящей через начало координат, имеет предел, равный нулю:

при х > 0.

Однако эта функция не имеет предела в точки (0, 0), ибо при у = х 2

Будем писать, если функция f определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0), за исключением, быть может, самой точки (х 0 , у 0) и для всякого N > 0 найдется д > 0 такое, что

| f (x, y) | > N ,

коль скоро 0 < < д.

Можно также говорить о пределе f , когда х , у > ?:

А равенство (5) надо понимать в том смысле, что для всякого е > 0 найдется такое N > 0, что для всех х , у , для которых |x | > N , |y | > N , функция f определена и имеет место неравенство

| f (x, y) - А | < е.

Справедливы равенства

где может быть х > ?, у > ?. При этом, как обычно, пределы (конечные) в их левых частях существуют, если существуют пределы f и ц.

Докажем для примера (7).

Пусть (x k , y k ) > (х 0 , у 0) ((x k , y k ) ? (х 0 , у 0)); тогда

Таким образом, предел в левой части (9) существует и равен правой части (9), а так как последовательность (x k , y k ) стремится к (х 0 , у 0) по любому закону, то этот предел равен пределу функции f (x, y) ц (x, y) в точке (х 0 , у 0).

Теорема. если функция f (x, y) имеет предел, не равный нулю в точке (х 0 , у 0), т.е.

то существует д > 0 такое, что для всех х , у , удовлетворяющих неравенствам

0 < < д, (10)

она удовлетворяет неравенству

Поэтому для таких (x, y)

т.е. имеет место неравенство (11). Из неравенства (12) для указанных (x, y) следует откуда при A> 0 и при

A < 0 (сохранение знака).

По определению функция f(x) = f (x 1 , …, x n ) = A имеет предел в точке

x 0 = , равный числу А , обозначаемый так:

(пишут еще f(x) > A (x > x 0)), если она определена на некоторой окрестности точки x 0 , за исключением, быть может, ее самой, и если существует предел

какова бы ни была стремящаяся к x 0 последовательность точек х k из указанной окрестности (k = 1, 2, ...), отличных от x 0 .

Другое эквивалентное определение заключается в следующем: функция f имеет в точке x 0 предел, равный А , если она определена в некоторой окрестности точки x 0 , за исключением, быть может, ее самой, и для любого е > 0 найдется такое д > 0, что

для всех х , удовлетворяющих неравенствам

0 < |x - x 0 | < д.

Это определение в свою очередь эквивалентно следующему: для любого е > 0 найдется окрестность U (x 0 ) точки x 0 такая, что для всех хU(x 0 ) , х ? x 0 , выполняется неравенство (13).

Очевидно, что если число А есть предел f(x) в x 0 , то А есть предел функции f(x 0 + h) от h в нулевой точке:

и наоборот.

Рассмотрим некоторую функцию f , заданную во всех точках окрестности точки x 0 , кроме, быть может, точки x 0 ; пусть щ = (щ 1 , ..., щ п ) - произвольный вектор длины единица (|щ| = 1) и t > 0 - скаляр. Точки вида x 0 + t щ (0 < t ) образуют выходящий из x 0 луч в направлении вектора щ. Для каждого щ можно рассматривать функцию

(0 < t < д щ)

от скалярной переменной t , где д щ есть число, зависящее от щ. Предел этой функции (от одной переменной t )

если он существует, естественно называть пределом f в точке x 0 по направлению вектора щ.

Будем писать, если функция f определена в некоторой окрестности x 0 , за исключением, быть может, x 0 , и для всякого N > 0 найдется д > 0 такое, что |f(x) | > N , коль скоро 0 < |x - x 0 | < д.

Можно говорить о пределе f , когда х > ?:

Например, в случае конечного числа А равенство (14) надо понимать в том смысле, что для всякого е > 0 можно указать такое N > 0, что для точек х , для которых |x | > N , функция f определена и имеет место неравенство.

Итак, предел функции f(x) = f(x 1 , ..., х п ) от п переменных определяется по аналогии так же, как для функции от двух переменных.

Таким образом, перейдем к определению предела функции нескольких переменных.

Число А называется пределом функции f(M) при М > М 0 , если для любого числа е > 0 всегда найдется такое число д > 0, что для любых точек М , отличных от М 0 и удовлетворяющих условию | ММ 0 | < д, будет иметь место неравенство | f(M) - А | < е.

Предел обозначают В случае функции двух переменных

Теоремы о пределах. Если функции f 1 (M) и f 2 (M) при М > М 0 стремятся каждая к конечному пределу, то:

Пример 1. Найти предел функции:

Решение. Преобразуем предел следующим образом:

Пусть y = kx , тогда

Пример 2. Найти предел функции:

Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом Тогда

Пример 3. Найти предел функции:

Решение. Воспользуемся вторым замечательным пределом Тогда

Рассмотрим плоскость и систему Oxy декартовых прямоугольных координат на ней (можно рассматривать и другие системы координат).

Из аналитической геометрии знаем, что каждой упорядоченной паре чисел (x, y) можно сопоставить единственную точкуM плоскости и наоборот, каждой точкеM плоскости соответствует единственная пара чисел.

Поэтому в дальнейшем, говоря о точке, мы будем часто подразумевать соответствующую ей пару чисел (x, y) и наоборот.

Определение 1.2 Множество пар чисел (x, y) , удовлетворяющих неравенствам, называется прямоугольником (открытым).

На плоскости он изобразится прямоугольником (рис. 1.2) со сторонами, параллельными осям координат, и с центром в точке M 0 (x 0 y 0 ) .

Прямоугольник принято обозначать следующим символом:

Введем важное для дальнейшего изложения понятие: окрестность точки.

Определение 1.3 Прямоугольной δ -окрестностью (дельта-окрестностью ) точкиM 0 (x 0 y 0 ) называется прямоугольник

с центром в точке M 0 и с одинаковыми по длине сторонами2δ .

Определение 1.4 Круговой δ - окрестностью точкиM 0 (x 0 y 0 ) называется круг радиусаδ с центром в точкеM 0 , т. е. множество точекM(xy) , координаты которых удовлетворяют неравенству:

Можно ввести понятия окрестностей и других видов, но для целей математического анализа технических задач, в основном, используются лишь прямоугольные и круговые окрестности.

Введём следующее понятие предела функции двух переменных.

Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой областиζ иM 0 (x 0 y 0 ) - точка, лежащая внутри или на границе этой области.

Определение 1.5Конечное число A называетсяпределом функции f (x, y) при

если для любого положительного числа ε можно найти такое положительное числоδ , что неравенство

выполняется для всех точек М(х,у) из областиζ , отличных отM 0 (x 0 y 0 ) , координаты которых удовлетворяют неравенствам:

Смысл этого определения состоит в том, что значения функции f (х, у) как угодно мало отличаются от числа А в точках достаточно малой окрестности точкиМ 0 .

Здесь в основу определения положены прямоугольные окрестности М 0 . Можно было бы рассматривать круговые окрестности точкиМ 0 и тогда нужно было бы требовать выполнения неравенства

во всех точках М(х,у) областиζ , отличных отМ 0 и удовлетворяющих условию:

Расстояние между точками М иМ 0 .

Употребительны следующие обозначения предела:

Учитывая определение предела функции двух переменных, можно перенести основные теоремы о пределах для функций одной переменной на функции двух переменных.

Например, теоремы о пределе суммы, произведения и частного двух функций.

§3 Непрерывность функции двух переменных

Пусть функция z = f (x ,y) определена в точкеM 0 (x 0 y 0 ) и её окрестности.

Определение 1.6 Функция называется непрерывной в точке M 0 (x 0 y 0 ) , если

Если функция f (x ,y) непрерывна в точкеM 0 (x 0 y 0 ) , то

Поскольку

То есть, если функция f (x ,y) непрерывна в точкеM 0 (x 0 y 0 ) , то бесконечно малым приращениям аргументов в этой области соответствует бесконечно малое приращениеΔz функцииz .

Справедливо и обратное утверждение: если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции, то функция непрерывна

Функцию, непрерывную в каждой точке области, называют непрерывной в области. Для непрерывных функций двух переменных, так же, как и для функции одной переменной, непрерывной на отрезке, справедливы основополагающие теоремы Вейерштрасса и Больцано - Коши.

Справка: Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 - 1897) - немецкий математик. Бернард Больцано (1781 - 1848) - чешский математик и философ. Огюстен Луи Коши (1789 - 1857) - французский математик, президент французской Академии наук (1844 - 1857).

Пример 1.4. Исследовать на непрерывность функцию

Данная функция определена при всех значениях переменных x иy , кроме начала координат, где знаменатель обращается в нуль.

Многочлен x 2 +y 2 непрерывен всюду, а значит и непрерывен корень квадратный из непрерывной функции.

Дробь же будет непрерывной всюду, кроме точек, где знаменатель равен нулю. То есть рассматриваемая функция непрерывна на всей координатной плоскости Оху , исключая начало координат.

Пример 1.5. Исследовать на непрерывность функцию z=tg(x,y) . Тангенс определен и непрерывен при всех конечных значениях аргумента, кроме значений, равных нечетному числу величиныπ/2 , т.е. исключая точки, где

При каждом фиксированном "k" уравнение (1.11) определяет гиперболу. Поэтому рассматриваемая функция является непрерывной функциейx и y , исключая точки, лежащие на кривых (1.11).

6.1. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

R n – метрическое пространство:

для M 0 (x , x ,…, x ) и M (х 1 , х 2 , …, х n ) (М 0 , М ) = .

n = 2: для M 0 (x 0 , y 0), M (x , y ) (М 0 , М ) =
.

Окрестность точки M 0 U  (M 0) = – внутренние точки круга радиуса с центром в M 0 .

6.1.1. Предел функции нескольких переменных. Повторные пределы.

f : R n R задана в некоторой окрестности точки M 0 , кроме, может быть, самой точки M 0 .

Определение. Число А называется пределом функции

f (x 1 , x 2 , …, x n ) в точкеM 0 , если  >0  >0  M (0 <  (М 0 , М ) <   | f (M ) – A |<  ).

Формы записи:

n = 2:

Это двойной предел .

На языке окрестностей точек:

>0  >0  M (x , y ) (M  U  (M 0 )\ M 0  f (x , y )  U  (А )).

(M может приближаться к М 0 по любому пути).

Повторные пределы:
и
.

(M приближается к М 0 соответственно по горизонтали и по вертикали).

Теорема о связи двойного и повторных пределов.

Если  двойной предел
и пределы
,
,

то  повторные пределы
,
и равны двойному.

Замечание 1. Обратное утверждение не верно.

Пример . f (x , y ) =

,

.

Однако двойной предел

=

не существует, так как в любой окрестности точки (0, 0) функция принимает и «далекие » от нуля значения, например, если x = y , то f (x , y ) = 0,5.

Замечание 2. Даже если  А R : f (x , y )  А

при движении M к M 0 по любой прямой, двойной предел может не существовать.

Пример. f (x , y ) =
,M 0 (0, 0). M (x , y )  M 0 (0, 0)

Вывод: предел (двойной) не существует.

Пример нахождения предела.

f (x , y ) =
, M 0 (0, 0).

Покажем, что число 0 есть предел функции в точке M 0 .

=
,

 – расстояние между точками М и M 0 .(воспользовались неравенством
,

которое следует из неравенств
)

Зададим  > 0 и пусть  = 2.  <  

6.1.2. Непрерывность функции нескольких переменных.

Определение. f (x , y ) непрерывна в точке M 0 (x 0 , y 0), если она определена в некоторой U  (M 0) и
,т. е.>0 >0 M (0 < (М 0 , М ) <   | f (M ) – f (M 0)|< ).

Замечание. Функция может меняться непрерывно вдоль одних направлений, проходящих через точку М 0 , а вдоль других направлений или путей другой формы иметь разрывы. Если это так, она разрывна в точке М 0 .

6.1.3. Свойства предела функции нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных в точке.

Имеет место единственность предела ;

функция, имеющая конечный предел в точке М 0 , ограничена в некоторой окрестности этой точки ; выполняются порядковые и алгебраические свойства предела,

предельный переход сохраняет знаки равенства и нестрогих неравенств .

Если функция непрерывна в точке М 0 и f (М 0 )  0 , то знак значений f (М ) сохраняется в некоторой U  (M 0).

Сумма, произведение, частное (знаменатель  0) непрерывных функций также непрерывные функции , непрерывна сложная функция , составленная из непрерывных.

6.1.4. Свойства функций, непрерывных на связном замкнутом ограниченном множестве. n = 1, 2 и 3.

Определение 1. Множество  называется связным , если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит и некоторую соединяющую их непрерывную кривую.

Определение 2. Множество  в R n называется ограниченным , если оно содержится в некотором «шаре»
.

n = 1 

n = 2 

n = 3  .

Примеры связных замкнутых ограниченных множеств .

R 1 = R : отрезок [a , b ];

R 2: отрезок АВ любой непрерывной кривой с концами в точках А и В ;

замкнутая непрерывная кривая;

круг
;

Определение 3. f : R n  R непрерывна на связном замкнутом множестве   R n , если M 0 

.

Теорема. Множество значений непрерывной функции

f : R n  R на замкнутом ограниченном связном множестве представляет собой отрезок [ m , M ] , здесь m - наименьшее , а M - наибольшее ее значения в точках множества.

Таким образом, на любом замкнутом ограниченном связном множестве в R n непрерывная функция ограничена, принимает свои наименьшее, наибольшее, а также все промежуточные значения.

Определение функции нескольких переменных. Основные понятия.

Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х,у) из некоторого множества по какому-либо правилу ставится в соответствие одно значение переменной z, то она называется функцией двух переменных . z=f(x,y,)

Область определения функции z - совокупность пар (х,у), при которых функция z существует.

Множество значений (область значений) функции – все значения, которые принимает функция в ее области определения.

График функции двух переменных - множество точек P, координаты которых удовлетворяют уравнению z=f(x,y)

Окрестность точки M0 (х0;y0) радиуса r – совокупность всех точек (x,y), которые удовлетворяют условию < r

Область определения и область значений функции нескольких переменных. График функции нескольких переменных.

Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

Предел функции нескольких переменных

Для того чтобы дать понятие предела функции нескольких переменных, ограничимся случаем двух переменных х и у . По определению функция f (x, y) имеет предел в точке (х 0 , у 0), равный числу А , обозначаемый так:

(1)

(пишут еще f (x, y) →А при (x, y) → (х 0 , у 0)), если она определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел

(2)

какова бы ни была стремящаяся к (х 0 , у 0) последовательность точек (x k ,y k ).

Так же, как в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функции двух переменных: функция f имеет в точке (х 0 , у 0) предел, равный А , если она определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0) за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что

| f (x, y) – A | < ε (3)

для всех (x, y) , удовлетворяющих неравенствам

0 < < δ. (4)

Это определение, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется δ-окрестность точки (х 0 , у 0) такая, что для всех (x, y ) из этой окрестности, отличных от (х 0 , у 0), выполняется неравенство (3).

Так как координаты произвольной точки (x, y ) окрестности точки (х 0 , у 0) можно записать в виде х = х 0 + Δх , у = у 0 + Δу , то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:

Рассмотрим некоторую функции, заданную в окрестности точки (х 0 , у 0), кроме, быть может, самой этой точки.

Пусть ω = (ω х , ω у ) – произвольный вектор длины единица (|ω| 2 = ω х 2 + ω у 2 = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида

(х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ) (0 < t )

образуют луч, выходящий из (х 0 , у 0) в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию

f (х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ) (0 < t < δ)

от скалярной переменной t , где δ – достаточно малое число.

Предел этой функции (одной переменной t )

f (х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ),

если он существует, естественно называть пределом f в точке (х 0 , у 0) по направлению ω.

Пример 1. Функции

определены на плоскости (x, y ) за исключением точки х 0 = 0, у 0 = 0. Имеем (учесть, что и ):

(для ε > 0 полагаем δ = ε/2 и тогда | f (x, y) | < ε, если < δ).

из которого видно, что предел φ в точке (0, 0) по разным направлениям вообще различен (единичный вектор луча y = kx , х > 0, имеет вид

).

Число А называется пределом функции f(M) при М → М 0 , если для любого числа ε > 0 всегда найдется такое число δ > 0, что для любых точек М , отличных от М 0 и удовлетворяющих условию | ММ 0 | < δ, будет иметь место неравенство | f(M) – А | < ε.

Предел обозначают В случае функции двух переменных

Теоремы о пределах. Если функции f 1 (M) и f 2 (M) при М → М 0 стремятся каждая к конечному пределу, то:

в)

Непрерывность функции нескольких переменных

По определению функция f (x, y) непрерывна в точке (х 0 , у 0), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х 0 , у 0) и если предел f (x, y) в этой точке равен ее значению в ней:

(1)

Условие непрерывности f в точке (х 0 , у 0) можно записать в эквивалентной форме:

(1")

т.е. функция f непрерывна в точке (х 0 , у 0), если непрерывна функция f (х 0 + Δх , у 0 + Δу) от переменных Δх , Δу при Δх = Δу = 0.

Можно ввести приращение Δи функции и = f (x, y) в точке (x, y) , соответствующее приращениям Δх , Δу аргументов

Δи = f (х + Δх , у + Δу) – f (x, y)

и на этом языке определить непрерывность f в (x, y) : функция f непрерывна в точке (x, y) , если

(1"")

Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке (х 0 ,у 0) функций f и φ есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х 0 , у 0) ≠ 0.

Постоянную с можно рассматривать как функцию f (x, y) = с от переменных x,y . Она непрерывна по этим переменным, потому что

| f (x, y) – f (х 0 , у 0) | = |с – с | = 0 0.

Следующими по сложности являются функции f (x, y) = х и f (x, y) = у . Их тоже можно рассматривать как функции от (x, y) , и при этом они непрерывны. Например, функция f (x, y) = х приводит в соответствие каждой точке (x, y) число, равное х . Непрерывность этой функции в произвольной точке (x, y) может быть доказана так:

| f (х + Δх , у + Δу) – f (x, y) | = | f (х + Δх) – х | = | Δх | ≤ 0.

Если производить над функциями x, y и постоянными действия сложения, вычитания и умножения в конечном числе, то будем получать функции, называемые многочленами от x, y . На основании сформулированных выше свойств многочлены от переменных x, y – непрерывные функции от этих переменных для всех точек (x, y) R 2 .

Отношение P/Q двух многочленов от (x, y) есть рациональная функция от (x,y) , очевидно, непрерывная всюду на R 2 , за исключением точек (x, y) , где Q(x, y) = 0.

Р (x, y) = х 3 – у 2 + х 2 у – 4

может быть примером многочлена от (x, y) третьей степени, а функция

Р (x, y) = х 4 – 2х 2 у 2 + у 4

есть пример многочлена от (x, y) четвертой степени.

Приведем пример теоремы, утверждающей непрерывность функции от непрерывных функций.

Теорема. Пусть функция f (x, y, z) непрерывна в точке (x 0 , y 0 , z 0 ) пространства R 3 (точек (x, y, z) ), а функции

x = φ (u, v), y = ψ (u, v), z = χ (u, v)

непрерывны в точке (u 0 , v 0 ) пространства R 2 (точек (u, v) ). Пусть, кроме того,

x 0 = φ (u 0 , v 0 ), y 0 = ψ (u 0 , v 0 ), z 0 = χ (u 0 , v 0 ) .

Тогда функция F (u, v) = f [ φ (u, v), ψ (u, v), χ (u, v) ] непрерывна (по

(u, v) ) в точке (u 0 , v 0 ) .

Доказательство. Так как знак предела можно внести под знак характеристики непрерывной функции, то

Теорема. Функция f (x, y) , непрерывная в точке (х 0 , у 0) и не равная нулю в этой точке, сохраняет знак числа f (х 0 , у 0) в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0).

По определению функция f (x) = f (x 1 , ..., х п) непрерывна в точке х 0 =(х 0 1 , ..., х 0 п) , если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе и в самой точке х 0 , и если предел ее в точке х 0 равен ее значению в ней:

(2)

Условие непрерывности f в точке х 0 можно записать в эквивалентной форме:

(2")

т.е. функция f (x) непрерывна в точке х 0 , если непрерывна функция f (х 0 +h) от h в точке h = 0.

Можно ввести приращение f в точке х 0 , соответствующее приращению h = (h 1 , ..., h п) ,

Δ h f (х 0 ) = f (х 0 + h) – f (х 0 )

и на его языке определить непрерывность f в х 0: функция f непрерывна в х 0 , если

Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке х 0 функций f (x) и φ (x) есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х 0 ) ≠ 0.

Замечание. Приращение Δ h f (х 0 ) называют также полным приращением функцииf в точке х 0 .

В пространстве R n точек х = (x 1 , ..., х п) зададим множество точек G .

По определению х 0 = (х 0 1 , ..., х 0 п) есть внутренняя точка множества G , если существует открытый шар с центром в нем, полностью принадлежащий к G .

Множество G R n называется открытым, если все его точки внутренние.

Говорят, что функции

х 1 = φ 1 (t) , ..., х п = φ п (t) (a ≤ t ≤ b)

непрерывные на отрезке [a , b ], определяют непрерывную кривую в R n , соединяющую точки х 1 = (х 1 1 , ..., х 1 п) и х 2 = (х 2 1 , ..., х 2 п) , где х 1 1 = φ 1 (а) , ..., х 1 п = φ п (а) , х 2 1 = φ 1 (b) , ..., х 2 п = φ п (b) . Букву t называют параметром кривой.